Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Guten Morgen, willkommen zurück. Ich darf mich noch mal kurz vorstellen,

mein Name ist Fabian Rüffler, ich vertrete heute nochmals den Herrn Professor Gugart.

Das Thema der heutigen Vorlesung sind Wege im R hoch N und was das ist, das besprechen wir jetzt.

Wenn wir von Wegen im R hoch N sprechen, dann sind das anschaulich Punkte im mehrdimensionalen Raum,

die eben gewissen Kurven folgen. Anschauliche Interpretationen werden davon etwa die Flugbahn

eines Fußballs oder ein geladenes Teilchen in einem elektrischen Feld. Das heißt,

als Motivation für Wege im R hoch N haben wir mathematisch die Beschreibung von Teilchen

und deren Bewegung. Etwa von Massenpunkten physikalisch ausgedrückt.

Das könnte eben beispielsweise sein, die Himmelskörperbewegung, etwa die Erde um die Sonne,

beschreibt hier eine Flugbahn. Oder wie schon gesagt etwa die Flugbahn eines Fußballs nach dem

Schluss, also die Bahn eines Balls im Allgemeinen auch. Oder wie denn etwas physikalischer das

Beispiel Bahnen von Gas Teilchen. Und wie würden wir die Bewegung von einem solchen

Teilchen im mehrdimensionalen Raum beschreiben? Naja, wir könnten das Ganze so machen,

zu jedem Zeitpunkt geben wir an in Koordinaten, wo sich das entsprechende Teilchen oder der

Massenpunkt befindet. Das heißt, wir definieren uns eine Abbildung mathematisch gesehen, da stecken

wir einen Zeitpunkt rein und kriegen etwa kathesische Koordinaten des Punktes raus.

Mathematisch ist das Ganze einfach eine Abbildung. Das heißt, wir definieren uns

eine Abbildung, wir nennen sie jetzt mal x. Wir müssen sagen, was wir in die Abbildung

reinstecken, das könnten etwa interpretiert Zeitpunkte sein und zwar Zeitpunkte von der

Anfangszeit a bis zur Endzeit b. Und für jeden dieser Zeitpunkte, die wir reinstecken,

kriegen wir einen Punkt im R hoch N. Das könnten etwa die Koordinaten des Massenpunktes sein.

Mathematisch würden wir nicht jede beliebige Abbildung jetzt betrachten, weil Massenpunkte

sich ja auch nicht beliebig irregulär verhalten. Deswegen setzen wir zumindest voraus, dass

diese Abbildung noch stetig ist. Und wenn so eine Abbildung die Bewegung eines Massenpunktes

beschreiben soll, dann nennen wir das Ganze einen Weg und geben dem ganzen noch mal ein

extra Titel, also etwa W, und zwar in dem Grundraum im R hoch N.

Ja, wir können uns das dann an ein paar Beispielen verdeutlichen. Etwa ein Beispiel in zwei Dimensionen,

hier ist also N gleich 2. Ah, Moment, ich habe noch etwas vergessen. Die Definition geht

natürlich noch weiter. Beim Weg gehört natürlich mehr als allein die Abbildung. Uns interessieren

natürlich auch die Punkte, in denen dieser Massenpunkt dann tatsächlich irgendwann mal

ist. Und zwar nennen wir die Menge aller Punkte, die zu jedem Zeitpunkt irgendwie erreicht

werden, die Kurve zu diesem Weg. Und wie würden wir das mathematisch definieren? Naja, einfach

alle Punkte x von t, wobei wir für t alle möglichen Zeitpunkte einsetzen. Das wäre

dann also der Vektor mit den Teilkomponenten x1 von t, x2 von t, bis xn von t, ja, transponiert,

und da fehlt noch eine Klammer, wobei wir für t sämtliche möglichen Zeitpunkte einsetzen.

Das sind also einfach alle möglichen Punkte im Raum, die dieser Weg erreicht. Und das

nennen wir dann einfach die Kurve zu diesem obengegebenen Weg. Wir müssen also unterscheiden

zwischen den Begriffen. Während das ganze umgangssprachlich vielleicht alles irgendwie

verwandt ist, haben wir hier einerseits den Weg, das ist die zugrunde liegende Abbildung,

die uns beschreibt, wie sich das Teilchen zeitlich verhält. Und die Kurve sind quasi

die Punkte, die dabei rauskommen, das heißt das Bild dieser Abbildung. Beide Punkte,

die wir dabei hervorheben, wir haben hier, dass das ganze für a beginnt und für b aufhört.

Das ist das Grundintervall, das wir einsetzen können und deswegen nennen wir auch x von

a den Anfangspunkt und x von b logischerweise den Endpunkt.

Das passiert dann ein wir uncle and participate inisini, hier mit brows und k both in anymore

So, jetzt haben wir aber die Definition beisammen und jetzt können wir die Beispiele machen.

Also wie gesagt ein mögliches Beispiel für Dimension N gleich 2, das heißt in der Ebene.

Und zwar, dazu kann ich auch gleich das Bild zeichnen.

Aber, wir wollen jetzt einfach nur mit einem Punkt in der Koordinate 1, 0 anfangen, das heißt auf der